Как узнать сколько квадратных метров в треугольнике: Как найти площадь треугольника, формула 🔺 — FotoNaStenu.ru — интернет магазин

Содержание

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружности

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:

1) через основание и высоту

a – основание треугольника,
h – высота треугольника.

2) через две стороны и угол

a, b – стороны треугольника,
α – угол между сторонами.

3) По трем сторонам. Формула Герона.

a, b, с – стороны треугольника,
p – полупериметр треугольника.

4) Через радиус вписанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
p – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной окружности.

5) Через радиус описанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.

Как найти площадь треугольника — Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Как найти площадь треугольника по 3 сторонам.

Как можно найти площадь треугольника

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.

д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

Инструкция

Стороны и углы считаются основными элементами

а .

Треугольник полностью определяется любой из следующих своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника , задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника :
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b — стороны треугольника . Задача имеет , если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.

Площадь S, построенного таким образом треугольника ABC с известными сторонами a, b, c, вычисляется по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где a, b, c – стороны треугольника , p – полупериметр. 2 v3)/4

Если треугольник является прямоугольным, то есть один из его углов равен 90°, а стороны, его образующие, катетами, третья сторона гипотенузой. В данном случае площадь равняется произведению катетов, деленному на два.

S=ab/2

Чтобы найти площадь треугольника , можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.

Вам понадобится

знание формул для нахождения площади треугольника

Инструкция

Если вы знаете величину одной из сторон и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей : S = a*h/2, где S — площадь треугольника, a — одна из сторон треугольника, а h — высота, к стороне a.

Существует известная для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину — полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c — .

возведение в степень.

Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β — угол, противолежащий стороне a, а α и γ — прилежащие к стороне углы.

Видео по теме

Обратите внимание

Самая общая формула, которая подходит для всех случаев — это формула Герона.

Источники:

Поиск площади треугольника — одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4. 2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Для проведения ремонтных работ бывает необходимо измерить площадь стен. Так проще рассчитать необходимое количество краски или обоев. Для измерений лучше всего воспользоваться рулеткой или сантиметровой лентой. Замеры следует проводить уже после того, как стены были выровнены.

Вам понадобится

-рулетка;
-стремянка.

Инструкция

Чтобы посчитать площадь стен, вам необходимо знать точную высоту потолков, а также произвести замеры длины по полу. Делается это следующим образом: возьмите сантиметр, проложите его над плинтусом. Обычно сантиметра для всей длины не хватает, поэтому закрепите его в углу, затем размотайте на максимальную длину. В этой точке поставьте отметку карандашом, запишите полученный результат и дальнейшее измерение проводите тем же образом, начиная с последней точки замера.

Стандартная потолков в типовых — 2 метра 80 сантиметров, 3 метра и 3 метра 20 сантиметров, в зависимости от дома. Если дом был построен до 50-х годов, то, скорее всего, реальная высота несколько ниже указанной. Если вы вычисляете площадь для ремонтных работ, то небольшой запас не повредит — считайте, исходя из стандарта. Если все же необходимо знать реальную высоту — проведите замеры . Принцип аналогичен измерению длины, но потребуется стремянка.

Перемножьте полученные показатели — это и есть площадь вашей стены . Правда, при покрасочных работах или для необходимо вычесть площадь дверных и оконных проемов. Для этого проложите сантиметр вдоль проема. Если речь идет о двери, которую вы впоследствии собираетесь менять, то проводите со снятой дверной коробкой, учитывая только площадь непосредственно самого проема. Площадь окна высчитывается по периметру его рамы. После того, как площадь окна и дверного проема высчитана, вычтите результат из общей полученной площади комнаты.

Учтите, что замеры длины и ширины комнаты проводить вдвоем, так легче зафиксировать сантиметр или рулетку и, соответственно, получить более точный результат. Проводите один и тот же замер несколько раз, чтобы убедиться в точности полученных цифр.

Видео по теме

Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник — двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение — объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.

Вам понадобится

лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор

Инструкция

Начертите на листе бумаги при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет , так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной «а», другая — стороной «b», и третья — стороной «c». Подпишите вершины треугольника буквами «А», «B» и «C».

Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр «h» восстановлен к стороне «c» из вершины «A». Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.

Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника «p», сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего : p(p-a)(p-b)(p-c).

Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема не . Вы можете найти объем , которая по сути треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.

Обратите внимание

Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения

Источники:

Калькулятор “Все во все” — портал по справочным величинам
объем треугольника в 2019

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат — это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную — полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Из противоположной вершины) и разделите полученное произведение на два. В виде данное выглядит следующим образом:

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

Длина стороны и высота должны быть представлены в одинаковых единицах измерения. При этом площадь треугольника получится в соответствующих « » единицах.

Пример.
На одну из сторон разностороннего треугольника длиной 20 см, опущен перпендикуляр из противоположной вершины длиной 10 см.
Требуется площадь треугольника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Если известны длины двух любых сторон разностороннего треугольника и угол между ними, то воспользуйтесь формулой:

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – угла между ними.

На практике, например, при измерении земельных участков, использование вышеприведенных формул иногда затруднительно, так как требует дополнительных построений и измерения углов.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.

Если кроме длин всех сторон известен радиус вписанной в треугольник окружности, то воспользуйтесь следующей компактной формулой:

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).

Для вычисления площади разностороннего треугольника описанной окружности и длины его сторон, используйте формулу:

где: R – радиус описанной окружности.

Если известна длина одной из сторон треугольника и трех углов (в принципе, достаточно двух – величина третьего вычисляется из равенства суммы трех углов треугольника — 180º), то воспользуйтесь формулой:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.

Потребность в нахождении различных элементов, в том числе и площади треугольника , появилась за много веков до нашей эры у ученых астрономов Древней Греции. Площадь треугольника можно вычислить различными способами, используя разные формулы. Способ вычисления зависит от того, какие элементы треугольника известны.

Инструкция

Если из условия нам известны значения двух сторон b, c и угол ими образованный?, то площадь треугольника ABC находится по формуле:
S = (bcsin?)/2.

Если из условия нам известны значения двух сторон a, b и не образованный ими угол?, то площадь треугольника ABC находится следующим образом:
Находим угол?, sin? = bsin?/a, далее по таблице определяем сам угол. 2/2, где с – гипотенуза треугольника , a=b – катет.

Видео по теме

Источники:

как измерить площадь треугольника

Знания лишь одного параметра (величины угла) не достаточно для нахождения площади треугольника . Если же есть какие-либо дополнительные размеры, то для определения площади можно выбрать одну из формул, в которых в качестве одной из известных переменных используется и величина угла. Несколько таких формул, применяемых наиболее часто, приведено ниже.

Инструкция

Если кроме величины угла (γ), образованного двумя сторонами треугольника , известны и длины этих сторон (A и B), то площадь (S) фигуры можно определить, как половину от произведения длин сторон на синус этого известного угла: S=½×A×B×sin(γ).

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание . Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы:

«Формулы площади равностороннего треугольника»

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам :
a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r — радиус вписанной в треугольник окружности
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности
h — высота треугольника, опущенная на сторону
p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α — угол, противолежащий стороне a треугольника
β — угол, противолежащий стороне b треугольника
γ — угол, противолежащий стороне c треугольника
h a , h b , h c — высота треугольника, опущенная на сторону a , b , c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин , которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .

Решение .

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов . Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2

Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение .

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Ответ : 9 √3 / 4.

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение .

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 — общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c)) — на третьей строке рисунка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c)) — четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

Площадь треугольника прямой угол. Как найти площадь треугольника

Треугольник – плоская геометрическая фигура с одним углом равным 90 °. При этом в геометрии очень часто требуется вычислить площадь такой фигуры. Как это сделать, мы расскажем далее.

Самая простая формула определения площади прямоугольного треугольника

Исходные данные, где: a и b – стороны треугольника, выходящие из прямого угла.

То есть, площадь равна половине произведения двух сторон, которые выходят из прямого угла. Конечно, существует формула Герона, используемая для вычисления площади обычного треугольника, но для определения величины необходимо знать длину трех сторон. Соответственно, вам придется рассчитать гипотенузу, а это лишнее время.

Найти площадь прямоугольного треугольника через формулу Герона

Это всем известная и исходная формула, но для этого вам придется посчитать гипотенузу по двум катетам, используя Теорему Пифагора.

В этой формуле: a, b, c – стороны треугольника, а p – полупериметр.

Найти площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Если в вашей задаче не известен ни один из катетов, то воспользоваться самым простым способом вы не сможете. Для определения величины вам нужно рассчитать длину катетов. Это сделать просто по гипотенузе и косинусу прилежащего угла.

b=c×cos(α)

Узнав длину одного из катетов, по теореме Пифагора вы сможете рассчитать вторую сторону, выходящую из прямого угла.

b 2 =c 2 -a 2

В этой формуле c и a – гипотенуза и катет соответственно. Теперь можете рассчитать площадь по первой формуле. Точно так же можно вычислить один из катетов, имея второй и угол. В таком случае одна из искомых сторон будет равна произведению катета на тангенс угла. Существуют и другие способы вычисления площади, но зная основные теоремы и правила, вы сможете легко найти искомую величину.

Если у вас нет ни одной из сторон треугольника, а имеется лишь медиана и один из углов, то вы сможете вычислить длину сторон. Для этого используйте свойства медианы делить прямоугольный треугольник на два. Соответственно, она может выступать гипотенузой, если выходит из острого угла. Воспользуйтесь теоремой Пифагора и определите длину сторон треугольника, выходящих из прямого угла.

Как видите, зная основные формулы и Теорему Пифагора, вы сможете рассчитать площадь прямоугольного треугольника, имея лишь один из углов и длину одной из сторон.

Инструкция

Задача 1.
Найдите длины всех сторон треугольника, если известно, что одного катета превышает длину другого на 1 см, а треугольника равна 28 см.

Решение.
Запишите основную формулу площади S = (a*b)/2 = 28. Известно, что b = a + 1, подставьте это значение в формулу: 28 = (a*(a+1))/2. 2)*tg(B)/2 d случае, если вам задан только один из катетов (a), но также известен и прилежащий этому катету угол (B).

Видео по теме

Источники:

«Пособие по математике для поступающих в вузы», под ред. Г.Н. Яковлева, 1982.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.

Вам понадобится

Калькулятор, таблицы Брадиса.

Инструкция

Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Полезный совет

В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.

Источники:

как вычислить сторону прямоугольного треугольника в 2019

В такой фигуре как прямоугольный треугольник обязательно существует четкое соотношение сторон относительно друг друга. Зная две из них, всегда можно найти третью. То, каким образом это возможно сделать, вы узнаете из инструкции, предложенной ниже.

Вам понадобится

— калькулятор.

Инструкция

Возведите в квадрат оба катета, а сложите их между собой a2+b2. Полученный результат является гипотенузой (основанием ) в квадрате c2. Далее нужно лишь извлечь корень из последнего , и гипотенуза найдена. Данный метод является простым и удобным в применении на . Главное в процессе нахождения сторон треугольника таким образом — не забывать извлекать корень из предварительного результата, чтобы избежать самой распространенной ошибки. Формула выведена, благодаря самой известной в мире теореме Пифагора, которая во всех источниках имеет вид: a2+b2 = c2.

Разделите один из катетов a на синус противолежащего ему угла sin α. В том случае, если в условии известны стороны и синусы, этот вариант нахождения гипотенузы будет приемлемым. Формула в данном случае будет иметь совсем простой вид: c=a/sin α. Будьте внимательны при всех вычислениях.

Умножьте сторону a на два. Гипотенуза вычислена. Это, пожалуй, самый элементарный способ нахождения нам стороны. Но, к сожалению, этот метод применяется только в одном случае — если сторона, которая лежит напротив угла в градусную меру, равную числу тридцать. При наличии таковой вы можете быть уверены, что она всегда будет являть собой ровно половину гипотенузы. Соответственно, вам остается лишь увеличить ее в два раза и готов.

Разделите катет a на косинус прилежащего к нему угла cos α. Такой метод подойдет исключительно в том случае, если вам известен один из катетов и косинус угла к нему прилежащего. Этот способ напоминает уже представленный вам ранее, в котором используется также катет, но вместо косинуса — синус противолежащего угла. Только вот в этом случае будет иметь несколько другой измененный внешний вид: с=a/ cos α. Вот и все.

Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольник а не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.

Инструкция

Используйте для вычисления величин (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный тре. Такое , например, для синуса острого угла как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию — арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольник а составляет 180°, а в треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.

Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.

Можно воспользоваться аналогичным тангенса — он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. 2 – подкоренное выражение, обозначающее разность квадрата гипотенузы и катета.

3. Даны значения всех сторон треугольника

Для таких задач можно использовать формулу Герона:
S = (p-a)(p-b),
где p – полупериметр, который находится по следующему выражению: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. Известен один катет и угол

Тут стоит обратиться к тригонометрическим функциям. Например, tg(1) = 1/сtg (1) = b/a. То есть, благодаря этому соотношению можно определить значение неизвестного катета. Далее задача сводится к первому пункту.

5. Известна гипотенуза и угол

В данном случае также используются тригонометрические функции синуса и косинуса: сos(2)=1/sin(2) = b/c. Затем решение задачи сводится ко второму пункту статьи.

Видео по теме

определение , схожее с первым. Прямоугольным называется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты

У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, называются просто сторонами.

У стороны имеют и другие названия. Те, которые прилегают к прямому углу, называются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» означает «натянутая», а «катет» — «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами

Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые значительно облегчают вычисления. Например, зная размеры катетов, можно вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его получило название теоремы Пифагора и выглядит оно так:

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов.

Стороны, противолежащие каждому углу, удобно назвать а, b и с, по названиям лежащих напротив них углов. Рассмотрите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется . Вычислить эту тригонометрическую функцию можно по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c.

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 90 0 . Неотъемлемыми понятиями в определении являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза — сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о

произведении сторон в определении не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному — как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C — стороны треугольника, катеты — AB, BC. Угол ACB — прямой. S — площадь треугольника, h n n — высота треугольника, где nn — сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник

равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов…». Но не все могут

сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p-AC)*(p-BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник — это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник — оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм — трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник — наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник — это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры — это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

два катета;
катет и прилежащий угол;
катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол — это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

В элементарной геометрии прямоугольным треугольником называется фигура, состоящая из трёх отрезков соединённых в точках, с углами два из которых острые, а один прямой (то есть равен 90°). Прямоугольный треугольник характеризуется целым рядом важных свойств, многие из которых составляют основу тригонометрии (например, соотношения между его сторонами и углами). Еще со школьной скамьи все мы знаем, как вычислить площадь прямоугольного треугольника , а в повседневной жизни встречаемся с этой геометрической фигурой достаточно часто, порой даже не замечая этого. Достаточно широкое применение находит она в технике и поэтому такую задачу, как , часто приходится решать инженерам, конструкторам и архитекторам.

Зодчим определять эту величину требуется тогда, когда они проектируют здания с фронтонами, которые являются завершением фасадов и имеют треугольную форму ограниченную карнизом, а по бокам – скатами крыши. Нередко угол между скатами бывает прямой, и в таких случаях фронтон имеет форму прямоугольного треугольника. Определять его площадь требуется по той простой причине, что необходимо точно знать количество строительного материала, необходимого для его обустройства. Следует заметить, что фронтоны являются обязательными элементами малоэтажных строений (загородных домов, коттеджей, дач).

Нахождение площади прямоугольного треугольника

a — катет

b — катет

S — площадь прямоугольного треугольника

Форму прямоугольного треугольника имеют многие детали, из которых изготавливается современная мебель. Как известно, для того чтобы наиболее рационально использовать площадь помещений, все элементы обстановки должны размещаться в ней оптимальным образом. С пользой задействовать такие зоны, как углы, можно с помощью столов треугольной формы, столешницы которых в большинстве случаев представляют собой прямоугольные треугольники с катетами, вплотную прилегающими к стенам. При проектировании и расчете этих элементов конструкторы мебельного производства применяют формулу, по которой нахождение площади прямоугольного треугольника осуществляется на основе длины его сторон. Кроме того, им нередко приходится разрабатывать конструкции столиков, крепящихся непосредственно к стенам, в состав которых входят опорные элементы, также представляющие собой прямоугольные треугольники .

Строителям, занимающимся облицовочными работами, нередко в своей профессиональной деятельности приходится использовать керамическую плитку, имеющую форму прямоугольного треугольника с катетами одинаковой или различной длины. Им также приходится определять площадь этих элементов для того, чтобы выяснить необходимое их количество.

Форму прямоугольного треугольника имеет и такой важный и необходимый измерительный инструмент, как угольник. С его помощью производится построение и контроль прямых углов, а используется он очень широко и многими: от обычных школьников на уроках геометрии до конструкторов суперсовременной техники.

✅ Площадь поперечного сечения: особенности величины, как найти её для круга

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d

, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины
A
и
C
. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

Из равенства (1) найдем d

Пример 1. Сторона квадрата равна a

=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a

=53 в (2), получим:

Ответ:

Объём геометрической фигуры

Объём геометрической фигуры — это число, которое характеризует вместимость данной фигуры.

Объём измеряется в кубических единицах. Под кубическими единицами подразумевают кубы длиной 1, шириной 1 и высотой 1. Например, 1 кубический сантиметр или 1 кубический метр.

Измерить объём какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько кубических единиц вмещается в данную фигуру.

Например, объём следующего прямоугольного параллелепипеда равен двенадцати кубическим сантиметрам:

Это потому что в данный параллелепипед вмещается двенадцать кубов длиной 1 см, шириной 1 см и высотой 1 см:

Объём обозначается заглавной латинской буквой V. Одна из единиц измерения объема это кубический сантиметр (см3). Тогда объём V рассмотренного нами параллелепипеда равен 12 см3

V = 12 см3

Объём любого параллелепипеда вычисляют следующим образом: перемножают его длину, ширину и высоту .

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

V = abc

где, a — длина, b — ширина, c — высота

Так, в предыдущем примере мы визуально определили, что объём параллелепипеда равен 12 см3. Но можно измерить длину, ширину и высоту данного параллелепипеда и перемножить результаты измерений. Мы получим тот же результат

Объём куба вычисляется таким же образом, как и объём прямоугольного параллелепипеда — перемножают длину, ширину и высоту.

Например, вычислим объём куба, длина которого 3 см. У куба длина, ширина и высота равны между собой. Если длина равна 3 см, то равны этим же трём сантиметрам ширина и высота куба:

Перемножаем длину, ширину, высоту и получаем объём, равный двадцати семи кубическим сантиметрам:

V = 3 × 3 × 3 = 27 см³

Действительно, в исходный куб вмещается 27 кубиков длиной 1 см

При вычислении объёма данного куба мы перемножили длину, ширину и высоту. Получилось произведение 3 × 3 × 3. Это есть произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен 3. Иными словами, произведение 3 × 3 × 3 является третьей степенью числа 3 и может быть записано в виде 33.

V = 33 = 27 см3

Поэтому третью степень числа называют кубом числа. При вычислении третьей степени числа a, человек тем самым находит объём куба, длиной a. Операцию возведения числа в третью степень по другому называют возведением в куб.

Таким образом, объём куба вычисляется по следующему правилу:

V = a3

Где a — длина куба.

Кубический дециметр. Кубический метр

Не все объекты нашего мира удобно измерять в кубических сантиметрах. Например, объём комнаты или дома удобнее измерять в кубических метрах (м3). А объём бака, аквариума или холодильника удобнее измерять в кубических дециметрах (дм3).

Другое название одного кубического дециметра – один литр.

1 дм3 = 1 литр

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a

сторону квадрата, а через
R
− радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ
BD
(Рис.4). Треугольник
ABD
является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

или

Из формулы (5) найдем R

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a

=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a

=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Перевод единиц измерения площади

Единицы измерения площади можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Выразить 1 квадратный метр в квадратных сантиметрах.

1 квадратный метр это квадрат со стороной 1 м. То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному метру.

Но 1 м = 100 см. Тогда все четыре стороны тоже имеют длину, равную 100 см

Вычислим новую площадь этого квадрата. Умножим длину 100 см на ширину 100 см или возведём в квадрат число 100

S = 1002 = 10 000 см2

Получается, что на один квадратный метр приходится десять тысяч квадратных сантиметров.

1 м2 = 10 000 см2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных метров на 10 000 и получить площадь, выраженную в квадратных сантиметрах.

Чтобы перевести квадратные метры в квадратные сантиметры, нужно количество квадратных метров умножить на 10 000.

А чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные метры, нужно наоборот количество квадратных сантиметров разделить на 10 000.

Например, переведём 100 000 см2 в квадратные метры. Рассуждать в этом случае можно так: «если 10 000 см2 это один квадратный метр, то сколько раз 100 000 см2 будут содержать по 10 000 см2»

100 000 см2 : 10 000 см2 = 10 м2

Другие единицы измерения можно переводить таким же образом. Например, переведём 2 км2 в квадратные метры.

Один квадратный километр это квадрат со стороной 1 км. То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному километру. Но 1 км = 1000 м. Значит, все четыре стороны квадрата также равны 1000 м. Найдём новую площадь квадрата, выраженную в квадратных метрах. Для этого умножим длину 1000 м на ширину 1000 м или возведём в квадрат число 1000

S = 10002 = 1 000 000 м2

Получается, что на один квадратный километр приходится один миллион квадратных метров:

1 км2 = 1 000 000 м2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных километров на 1 000 000 и получить площадь, выраженную в квадратных метрах.

Чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, нужно количество квадратных километров умножить на 1 000 000.

Итак, вернёмся к нашей задаче. Требовалось перевести 2 км2 в квадратные метры. Умножим 2 км2 на 1 000 000

2 км2 × 1 000 000 = 2 000 000 м2

А чтобы перевести квадратные метры в квадратные километры, нужно наоборот количество квадратных метров разделить на 1 000 000.

Например, переведём 3 500 000 м2 в квадратные километры. Рассуждать в этом случае можно так: «если 1 000 000 м2 это один квадратный километр, то сколько раз 3 500 000 м2 будут содержать по 1 000 000 м2»

3 500 000 м2 : 1 000 000 м2 = 3,5 км2

Пример 2. Выразить 7 м2 в квадратных сантиметрах.

Умножим 7 м2 на 10 000

7 м2 = 7 м2 × 10 000 = 70 000 см2

Пример 3. Выразить 5 м2 13 см2 в квадратных сантиметрах.

5 м2 13 см2 = 5 м2 × 10 000 + 13 см2 = 50 013 см2

Пример 4. Выразить 550 000 см2 в квадратных метрах.

Узнаем сколько раз 550 000 см2 содержит по 10 000 см2. Для этого разделим 550 000 см2 на 10 000 см2

550 000 см2 : 10 000 см2 = 55 м2

Пример 5. Выразить 7 км2 в квадратных метрах.

Умножим 7 км2 на 1 000 000

7 км2 × 1 000 000 = 7 000 000 м2

Пример 6. Выразить 8 500 000 м2 в квадратных километрах.

Узнаем сколько раз 8 500 000 м2 содержит по 1 000 000 м2. Для этого разделим 8 500 000 м2 на 1 000 000 м2

8 500 000 м2 × 1 000 000 м2 = 8,5 км2

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Что такое треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей — все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле «площадь треугольника через две стороны и угол между ними»:

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Найти площадь треугольника зная 2 стороны. Как найти площадь треугольника

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

Прямоугольный.
Тупоугольный.
Остроугольный.
Разносторонний.
Равносторонний.
Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.

Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.

Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.

Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.

Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Инструкция

Стороны и углы считаются основными элементами а . Треугольник полностью определяется любой из следующих своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника , задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника :
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для построения треугольника по трем сторонам a, b, c, необходимо из точки С отрезка СВ=a как из провести циркулем окружность радиусом b. Затем аналогичным образом провести из точки B окружность радиусом равным стороне c. Точка их пересечения A – третья вершина искомого треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b — стороны треугольника . Задача имеет , если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.

Если треугольник является равносторонним, то есть все его стороны равны (a=b=c). 2 v3)/4

Вам понадобится

знание формул для нахождения площади треугольника

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Самая общая формула, которая подходит для всех случаев — это формула Герона.

Источники:

Вам понадобится

длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Видео по теме

Вам понадобится

-рулетка;
-стремянка.

Инструкция

Видео по теме

Вам понадобится

лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор

Инструкция

Обратите внимание

Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения

Источники:

Калькулятор “Все во все” — портал по справочным величинам
объем треугольника в 2019

Инструкция

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – угла между ними.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).

где: R – радиус описанной окружности.

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.

Инструкция

Видео по теме

Источники:

как измерить площадь треугольника

Инструкция

Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника.

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны н а, н в, н с.

1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * н а. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р — а) * (р — в) * (р — с)).

3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с — а) * (а + с — в) * (а + в — с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.

Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника

Обозначения, которые требуются для прочтения формул: α, β, γ — углы. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно.

1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ. Подобным образом следует записать формулы для двух других случаев.

2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Две последние формулы являются не самыми простыми. Запомнить их довольно сложно.

Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей

Дополнительные обозначения: r, R — радиусы. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной.

1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с).

2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности. В буквенном выражении это выглядит так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частный случай: прямоугольный треугольник

Это самая простая ситуация, поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника.

Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.

Частный случай: равнобедренный треугольник

Поскольку у него две стороны равные, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a — ½ в)).

Если ее преобразовать, то она станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так:

S = ¼ в √(4 * a 2 — b 2).

Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a 2 * sin β.

Частный случай: равносторонний треугольник

Обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом:

S = (а 2 √3) / 4.

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.

Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.

Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Пример задачи на формулу Герона

Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.

Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).

Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.

Ответ. S = 2 √14 см 2 или 7,48 см 2 .

Пример задачи с прямоугольным треугольником

Условие. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см 2 .
Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче.
180 = ½ а * в;

а = в + 31.
Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в 2 + 31 в — 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и — 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной.

Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины.

Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.

Задача на нахождение стороны через площадь, сторону и угол треугольника

Условие. Площадь некоторого треугольника 60 см 2 . Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.

Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так:

60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5.

После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16.

Ответ. Искомая сторона равна 16 см.

Задача о квадрате, вписанном в прямоугольный треугольник

Условие. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми.

Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника.

18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см 2 .

Ответ. Искомая площадь равна 1176 см 2 .

«Формулы площади равностороннего треугольника»

Формулы площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин , которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .

Решение .

Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение .

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Ответ : 9 √3 / 4.

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение .

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс.

Площадь параллелограмма

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота $BE$, проведённая между длинными сторонами, короче высоты $BF$, проведённой между короткими сторонами.

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: $BE = BF$.

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Проведём высоты из двух вершин $B$ и $C$ к стороне $AD$ .

Прямоугольные треугольники $ABE$ и $DCF$ равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм $ABCD$ и прямоугольник $EBCF$ — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

Если обозначить сторону через $a$, высоту — через $h$, то:

Sп−гр=a⋅h.

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

Формула определения площади ромба:

Sромба=d1⋅d22.

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Sтреуг=aha2, где $h$ — высота (на рисунке — $BE$), проведённая к стороне $a$ (на рисунке — $AD$).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

— формула Герона, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $p$ — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S=a⋅b2, где $a$ и $b$ — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами $17$ см, $39$ см, $44$ см.

Решение:

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны $15$ см, $13$ см, $4$ см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади: SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому $a =$ $15$ см.

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.

Составляем уравнение:

15⋅h3=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами $17$ см и $39$ см, длина диагонали равна $44$ см. Вычислим площадь параллелограмма.

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через $a$ и $b$, высоту через $h$, то:

Sтрап=a+b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Площадь треугольника — пояснения и примеры

В этой статье вы узнаете площадь треугольника, а определите площадь различных типов треугольников . Площадь треугольника — это пространство внутри треугольника. Он измеряется в квадратных единицах.

Прежде чем перейти к теме , касающейся области треугольника , давайте познакомимся с такими терминами, как основание и высота треугольника.

Основание — это сторона треугольника, которая считается нижней частью, а t Высота треугольника — это перпендикулярная линия, проведенная на его основание из вершины, противоположной основанию. .

На приведенном выше рисунке пунктирными линиями показаны возможные высоты △ ABC. Обратите внимание, что у каждого треугольника, возможно, есть три высоты или высоты.

Высота треугольника △ ABC равна h ₁ , когда основание является стороной.
Высота треугольника △ ABC равна h3 при основании AB.
Высота треугольника △ ABC равна h ₃ при основании
Высота треугольника △ ABC может находиться вне треугольника ( h ₄ ), что составляет такая же, как высота h ₁ .

Из иллюстраций выше мы можем сделать следующие наблюдения:

Высота треугольника зависит от его основания.
Перпендикуляр к основанию треугольника равен высоте треугольника.
Высота треугольника может быть вне треугольника.

Обсудив понятие высоты и основания треугольника, давайте теперь приступим к вычислению площади треугольника.

Как найти площадь треугольника?

Площадь прямоугольника нам хорошо известна, т.е.е., длина * ширина . Что будет, если прямоугольник разделить пополам по диагонали (разрезать пополам)? Какая будет его зона новостей? Например, в прямоугольнике с основанием и высотой 6 единиц и 12 единиц, соответственно, площадь прямоугольника составляет 72 квадратных единицы.

Теперь, если вы разделите на две равные половины (после деления прямоугольника пополам по диагонали), площадь двух новых фигур должна составлять 36 квадратных единиц каждая. Две формы новостей представляют собой треугольники. Это означает, что если прямоугольник разрезан по диагонали на две равные половины, две новые формы образуются треугольниками, где каждый треугольник имеет площадь, равную ½ площади прямоугольника.

Площадь треугольника — это общее пространство или область, ограниченная определенным треугольником.
Площадь треугольника равна произведению основания и высоты на 2.

Стандартная единица измерения площади — квадратные метры (м ²).

Другие единицы включают:

Квадратные миллиметры (мм ²)
Квадратные дюймы (дюймы ²)
Квадратные километры (км ²)
Квадратные ярды.

Формула площади треугольника

Общая формула для вычисления площади треугольника:

Площадь (A) = ½ (b × h) квадратных единиц, где; A — площадь, b — основание, h — высота треугольника. Треугольники могут быть разной природы, но важно отметить, что эта формула применима ко всем треугольникам. Различные типы треугольников имеют разные формулы площади.

Примечание: база и высота должны быть в одних и тех же единицах измерения, то есть в метрах, километрах, сантиметрах и т. Д.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь треугольника = (½ × основание × высота) квадратных единиц.

Пример 1

Найдите площадь прямоугольного треугольника с основанием 9 м и высотой 12 м.

Решение

A = ¹ / ₂ × основание × высота

= ¹ / ₂ × 12 × 9

= 54 см²

Пример 2

Основание и высота прямоугольного треугольника равны 70 см и 8 м соответственно.Какая площадь у треугольника?

Решение

A = ½ × основание × высота

Здесь у нас 70 см и 8 м. Вы можете работать с cm или m. Давайте работать в метрах, заменив 70 см на метры.

Разделите 70 см на 100.

70/100 = 0,7 м.

⇒ A = (½ × 0,7 × 8) м ²

⇒ A = (½ x 5,6) м ²

⇒ A = 2,8 м ²

Площадь равнобедренного треугольника

An Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а также два угла равны.Формула площади равнобедренного треугольника:

⇒A = ½ (основание × высота).

Если высота равнобедренного треугольника не указана, для определения высоты используется следующая формула:

Высота = √ (a ² — b ²/4)

Где;

b = основание треугольника

a = длина стороны двух равных сторон.

Следовательно, площадь равнобедренного треугольника может быть;

⇒A = ½ [√ (a ² — b ²/4) × b]

Кроме того, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника определяется по формуле:

A = ½ × a ², где a = длина стороны двух равных сторон

Пример 3

Рассчитайте площадь равнобедренного треугольника с основанием 12 мм и высотой 17 мм.

Решение

⇒ A = ½ × основание × высота

⇒ 1/2 × 12 × 17

⇒ 1/2 × 204

= 102 мм ²

Пример 4

Найдите площадь равнобедренного треугольника, длина сторон которого составляет 5 м и 9 м.

Решение

Пусть основание b = 9 м и a = 5 м.

⇒ A = ½ [√ (a ² — b ²/4) × b]

⇒ ½ [√ (5 ² — 9 ²/4) × 9]

= 9 .81m ²

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором три стороны равны и три внутренних угла равны. Площадь равностороннего треугольника:

A = (a ² √3) / 4

, где a = длина сторон.

Пример 5

Вычислите площадь равностороннего треугольника со стороной 4 см.

Решение

⇒ A = (a ²/4) √3

⇒ (4 ²/4) √3

⇒ (16/4) √3

= 4√3 см ²

Пример 6

Найдите площадь равностороннего треугольника с периметром 84 мм.

Решение

Периметр равностороннего треугольника = 3a.

⇒ 3a = 84 мм

⇒ a = 84/3

⇒ a = 28 мм

Площадь = (a ²/4) √3

⇒ (28 ²/4) √3

= 196√3 мм ²

Площадь разностороннего треугольника

Разносторонний треугольник — это треугольник с 3 разными длинами сторон и 3 разными углами. Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать по формуле Герона.
Формула Герона дается как;
⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}

, где «p» — это полупериметр, а a, b, c — длины сторон.

⇒ p = (a + b + c) / 2

Пример 7
Вычислите площадь треугольника, длина сторон которого составляет 18 мм, 20 мм и 12 мм.

Решение

⇒ p = (a + b + c) / 2
Подставьте значения a, b и c.
⇒ p = (12 + 18 + 20) / 2
⇒ p = 50/2
⇒ p = 25
⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}
= √ {25 x (25 — 12) x (25 — 18) x (25 — 20)}
= √ (25 x 13 x 7 x 5)
= 5√455 мм ²

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Найдите площадь в квадратных метрах треугольника, класс 10 по математике CBSE

Подсказка: Мы будем использовать формулу площади треугольника, чтобы вычислить требуемое значение площади треугольника

Используемая формула : $ \ Delta = \ dfrac {1} {2} \ times base \ times height $, чтобы найти площадь треугольника в квадратных метрах.Высота и высота в треугольнике совпадают.

Полное пошаговое решение:
Нам нужно найти площадь треугольника, основание которого составляет 7,5 см, а высота — 4 см. Итак, пусть треугольник будет $ \ Delta ABC $ таким, что:

Теперь мы знаем, что
Площадь $ \ Delta = \ dfrac {1} {2} \ times base \ times height. $
Тогда, Площадь $ \ Delta ABC = \ dfrac {1} {2} \ times base \ times высота $
Теперь в $ \ Delta ABC $ база $ BC = 7,5 см $ и высота или высота $ OA = 4 см $.2} $.

Примечание: Если высота треугольника не указана, а указаны только стороны треугольника, то мы не можем использовать эту формулу. Мы воспользуемся формулой Герона, чтобы найти площадь треугольника, три стороны которого даны нам.
Для формулы Герона сначала мы вычислим ‘s’, который является полупериметром, как:
$ s = \ dfrac {{a + b + c}} {2} $, где a, b и c — три стороны a треугольник соответственно. И тогда мы найдем Площадь $ \ Delta = \ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — a)} $.Это формула Герона для определения площади треугольника, все стороны которого даны нам.

Как рассчитать размер участка

Квадратные или прямоугольные участки

Площадь квадрата или прямоугольника определяется умножением длины на ширину:

Площадь = Д x Ш

Прямоугольная площадь размером 80 футов на 60 футов равна 4800 квадратных футов:

Площадь = 80 футов x 60 футов

= 4800 футов ²

Треугольные области

Уравнение для вычисления площади треугольника выглядит следующим образом:

Площадь = (Основание x Высота) ÷ 2

Если основание треугольной области составляет 200 футов, а высота — 40 футов, уравнение будет иметь вид

Площадь = (200 футов x 40 футов) ÷ 2

= 4000 футов ²

Круговые области

Площадь круга определяется с помощью уравнения r ², или 3.14 x квадрат радиуса окружности:

Площадь = 3,14 x r ²

Круглая клумба диаметром 40 футов будет иметь радиус 20 футов, поэтому:

Площадь = 3,14 x 20 ²

= 3,14 x (20 футов x 20 футов)

= 1,256 футов ²

Нерегулярные зоны

Клумбы неправильной формы и т. Д. Обычно можно разделить на меньшие геометрические участки (квадрат, прямоугольник, круг, треугольник) для облегчения расчета общей площади.Просто рассчитайте площадь каждой отдельной формы и сложите их. И наоборот, может потребоваться вычислить общую площадь строений в квадратных футах на территории, которая не будет обрабатываться — здания, внутренние дворики, тротуары, пруды и т. Д., И вычесть ее из общей площади

Знаете ли вы?

Нажмите, чтобы запросить калибровочные чашки
У Министерства сельского хозяйства Вайоминга есть калибровочные чашки для домовладельцев.(307) 777-7324
Не используйте бытовые мерные стаканчики для измерения химикатов.
Не помещайте химические измерительные приборы в посудомоечную машину. Пожалуйста, ознакомьтесь с правилами надлежащей утилизации.
Одноразовые пластиковые медицинские шприцы являются хорошими инструментами для измерения химических веществ. См. Этикетку с химическим веществом для правильной утилизации.

Мониторинг пестицидов в воде Вайоминга

В 1991 году члены местного правительства, правительства штата и федерального правительства, а также представители промышленности и заинтересованных групп сформировали Комитет по стратегии по подземным водам и пестицидам, чтобы подготовить общий план управления пестицидами в грунтовых водах штата Вайоминг.Частью этого плана было определить, обнаружены ли пестициды в воде штата Вайоминг. Министерство сельского хозяйства Вайоминга и Геологическая служба США отбирали пробы подземных и поверхностных вод штата на предмет содержания пестицидов с 1995 года. Подробную информацию об усилиях по отбору проб можно найти в публикациях и в Интернете.

Площадь треугольника из скалена — формула, примеры, определение

Общая площадь разностороннего треугольника — это площадь между границами разностороннего треугольника.Разносторонний треугольник — это особый тип треугольника, в котором все три стороны треугольника имеют разную длину, а также углы разной меры. Хотя все углы разностороннего треугольника различны, сумма всех внутренних углов треугольника по-прежнему составляет 180 градусов. Мы обсудим площадь разностороннего треугольника, формулу расчета площади вместе с решенными примерами и несколько практических вопросов в конце.

Какова площадь скаленового треугольника?

Площадь разностороннего треугольника можно определить как количество пространства, занимаемого плоской поверхностью внутри разностороннего треугольника.Он измеряется как «количество» квадратных единиц (квадратных сантиметров, квадратных дюймов, квадратных футов и т. Д.).

Формула площади прямоугольного треугольника

Формула площади разностороннего треугольника используется для определения площади, занимаемой разносторонним треугольником в пределах его границы. Площадь разностороннего треугольника получается путем отнесения половины произведения основания к высоте треугольника. Таким образом, формула для площади разностороннего треугольника с основанием «b» и высотой «h» равна «(1/2) bh».

Или, площадь масштабного треугольника = [(1/2) × основание × высота] квадратных единиц

Расчет площади чешуйчатого треугольника

Поскольку треугольник имеет 6 величин, а именно 3 стороны и 3 угла, площадь треугольника рассчитывается по различным формулам в зависимости от известных величин треугольника.

Площадь скаленового треугольника с основанием и высотой

Если известны основание и высота разностороннего треугольника, то площадь треугольника равна:

Площадь треугольника = (1/2) × основание × высота

, где b и h — основание и высота треугольника соответственно.

Площадь треугольника из скалена по формуле Герона

Формула Герона применима, когда нам известны все три стороны треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a, b и c, показанный на изображении.

Формула Герона: \ (\ text {Area} = \ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} \)

где, a, b, c — длина стороны треугольника, а, s — полупериметр, равный (a + b + c) / 2.

Площадь двухстороннего треугольника с включенным углом (SAS)

Мы можем найти площадь разностороннего треугольника, если заданы длина двух его сторон и прилегающий угол.

1. Когда известны две стороны b и c и прилегающий угол A, площадь треугольника равна, Area = (1/2) bc × sin A

2. Если известны стороны a и c и прилегающий угол B, площадь треугольника равна, Area = (1/2) ac × sin B

3. Когда стороны a и b и угол C известны, площадь треугольника равна Area = (1/2) ab × sin C

Список площадей треугольника шкалы Формула Список

Площадь треугольника можно рассчитать по формулам, описанным выше.Вот список всех этих формул:

Площадь чешуйчатого треугольника при	Формула
Даны основание и высота треугольника	(1/2) × основание × высота
Стороны треугольника заданы	\ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \) где a, b, c — стороны, а s — полупериметр, s = (a + b + в) / 2
Даны две стороны и угол наклона	\ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side} _2} \ times \ sinθ \) где ‘θ’ — угол между заданными двумя сторонами .

Часто задаваемые вопросы о формуле площади треугольника из скалена

Какова площадь скаленового треугольника и периметр скаленового треугольника в математике?

Площадь фигуры — это область, ограниченная разносторонним треугольником. Периметр разностороннего треугольника — это общая длина границы фигуры.

Какова формула для расчета площади треугольника из скалена?

Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать по разным формулам,

Использование основания и высоты: (1/2) × основание × высота
Используя формулу Герона: \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где a, b, c — стороны, а s — полупериметр, s = (а + б + в) / 2.
Использование тригонометрии: \ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side} _2} \ times \ sinθ \), где ‘θ’ — угол между учитывая две стороны.

Как определить площадь треугольника из чешуи?

Площадь треугольника можно рассчитать по разным формулам в зависимости от известных параметров.

Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать, используя основание и высоту, найдя половину произведения основания и высоты разностороннего треугольника.
Учитывая размер трех сторон разностороннего треугольника, формулу Герона можно использовать для определения площади разностороннего треугольника: A \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \ ), где a, b, c — стороны, s — полупериметр, s = (a + b + c) / 2.
Мы можем вычислить площадь разностороннего треугольника, если две стороны и включенный угол заданы как, Area = \ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side } _2} \ times \ sinθ \), где ‘θ’ — угол между заданными двумя сторонами.

Как определить площадь чешуйчатого треугольника без высоты?

Формулу Герона можно использовать для определения площади треугольника, если известны длины трех сторон треугольника. Следовательно, площадь треугольника можно рассчитать по формуле Герона без использования высоты. Формула для вычисления площади в этом случае имеет вид: A = \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где ‘s’ — это полупериметр.

Как найти площадь чешуйчатого треугольника с учетом двух сторон и угла?

Площадь треугольника равна половине произведения данных двух сторон и синуса включенного угла.Подробное объяснение см. В разделе «Площадь треугольника с 2 сторонами и включенным углом» (SAS)

Как определить площадь треугольника из чешуи с тремя сторонами?

Площадь трехстороннего треугольника можно рассчитать по формуле Герона: Area = \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где ‘s’ — полупериметр, а «a», «b» и «c» — стороны разностороннего треугольника.

Как определить площадь неправильного треугольника из скалена?

Площадь неправильного треугольника (иногда называемого разносторонним треугольником) можно рассчитать по формуле: \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где, ‘s’ — это полупериметр, а ‘a’, ‘b’ и ‘c’ — стороны разностороннего треугольника.

Какова высота треугольника из чешуи?

Высота разностороннего треугольника — это длина перпендикуляра от одной стороны треугольника до противоположной вершины.

Как рассчитать площадь тупого треугольника?

Площадь тупого треугольника можно рассчитать по формуле: (1/2) × основание × высота, определив длину любой из его сторон и высоту.

Калькулятор прямоугольного треугольника | Pi Day

Чтобы использовать калькулятор прямого угла, просто введите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника в верхние поля.Затем калькулятор определит длину оставшейся стороны, площадь и периметр треугольника, а также все углы треугольника.

Как найти площадь и стороны прямоугольного треугольника

Сделай сам

Если нам известны только две стороны прямоугольного треугольника, мы можем использовать эту информацию, чтобы найти третью сторону, площадь и периметр треугольника, и все углы треугольника. Удивительно, правда? Давайте посмотрим, как мы найдем каждую из этих частей.

Как найти недостающую сторону прямоугольного треугольника

Чтобы найти недостающую сторону прямоугольного треугольника, мы используем знаменитую теорему Пифагора.

Нам нужно быть немного осторожными, чтобы знать, с какой стороны мы находимся. У прямоугольных треугольников два катета и гипотенуза, которая является самой длинной стороной и всегда пересекает прямой угол. Когда мы пытаемся найти гипотенузу, мы заменяем наши две известные стороны на a и b .Неважно, какой отрезок — a , а какой — b . Затем мы решаем для c , складывая квадраты значений a и b и извлекая квадратный корень из обеих сторон.

Когда мы пытаемся найти один из отрезков, мы вводим известный отрезок для a и известную гипотенузу для c . Затем мы решаем для b , используя простую алгебру (вычитаем значение a в квадрате с обеих сторон, затем извлекаем квадратный корень из обеих сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать только длину двух катетов. Гипотенуза нам вообще не нужна. Это потому, что ноги определяют основание и высоту треугольника в каждом прямоугольном треугольнике. Поэтому мы используем общую формулу площади треугольника (A = основание • высота / 2) и заменяем a и b на base и height . Итак, наша новая формула для площади прямоугольного треугольника: A = ab / 2.

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Чтобы найти периметр или расстояние вокруг нашего треугольника, нам просто нужно сложить все три стороны вместе. Если мы знаем только две стороны, нам нужно сначала использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону.

Как найти углы прямоугольного треугольника

Чтобы найти углов прямоугольного треугольника, мы используем тригонометрию. Это не так сложно, как кажется.Нам просто нужно найти одну специальную кнопку на наших портативных калькуляторах. Для начала нам нужно знать все длины сторон, поэтому, если мы их еще не знаем, мы сначала воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти их.

Когда у нас есть все стороны, мы определяем, какой угол мы собираемся найти. Затем мы берем сторону, противоположную этому углу, и делим ее на длину гипотенузы, которая равна стороне c . Это даст нам значение от 0 до 1. Теперь нам просто нужно найти кнопку ARCSIN на нашем калькуляторе, которая часто обозначается как SIN ^-1 .Нахождение ARCSIN нашего десятичного значения дает нам угол. Убедитесь, что калькулятор настроен на угловой, а не на радианный режим.

Мы можем повторить этот процесс, чтобы найти другой неизвестный угол в треугольнике, еще раз разделив его противоположную сторону на гипотенузу и взяв ARCSIN.

Или мы могли бы продемонстрировать еще больше знаний о треугольнике, используя вычитание, чтобы найти его, поскольку мы знаем, что внутренние углы треугольника должны составлять в сумме 180 °.Вычитание только что найденного угла из 180 ° и последующее вычитание известного прямого угла (90 °) также даст нам третий угол.

Этот калькулятор отлично подходит для получения всей этой информации всего с двух сторон прямоугольного треугольника, но попытаться найти стороны, углы, площадь и периметр самостоятельно без этого — интересная задача. Затем вы можете использовать его, чтобы проверить наши ответы.

9.7: Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций (часть 2)

Использование свойств треугольников

Теперь мы знаем, как найти площадь прямоугольника.Мы можем использовать этот факт, чтобы визуализировать формулу площади треугольника. В прямоугольнике на рисунке \ (\ PageIndex {9} \) мы обозначили длину b и ширину h, так что это площадь bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \) — Площадь прямоугольника равна основанию b, умноженному на высоту h.

Мы можем разделить этот прямоугольник на два равных треугольника (рисунок \ (\ PageIndex {10} \)). Конгруэнтные треугольники имеют одинаковую длину сторон и углы, поэтому их площади равны.Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника или \ (\ dfrac {1} {2} \) bh. Этот пример помогает нам понять, почему формула для вычисления площади треугольника имеет вид A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \) — прямоугольник можно разделить на два треугольника равной площади. Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника.

Формула площади треугольника: A = \ (\ dfrac {1} {2} \) bh, где b — основание, а h — высота. Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту.Основание — это длина одной стороны треугольника, обычно стороны внизу. Высота — это длина линии, которая соединяет основание с противоположной вершиной и составляет с основанием угол 90 °. На рисунке \ (\ PageIndex {11} \) показаны три треугольника с отмеченными основанием и высотой каждого.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) — Высота h треугольника — это длина отрезка линии, соединяющего основание с противоположной вершиной и образующего угол 90 ° с основанием.

Определение: Свойства треугольника

Для любого треугольника ΔABC сумма углов равна 180 °.$$ m \ angle A + m \ angle B + m \ angle C = 180 ° $$ Периметр треугольника равен сумме длин сторон. $$ P = a + b + c $$ Площадь треугольник равен половине основания b, умноженной на высоту h. $$ A = \ dfrac {1} {2} bh \]

Пример \ (\ PageIndex {9} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 11 дюймов и высотой 8 дюймов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	пусть A = площадь треугольника
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	A = 44 квадратных дюйма
Шаг 6. Проверка .	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} bh \\ 44 & \ stackrel {?} {=} \ Dfrac {1} {2} (11) 8 \\ 44 & = 44 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь составляет 44 квадратных дюйма.

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 13 дюймов и высотой 2 дюйма.

Ответ: 13 кв. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \):

Найдите площадь треугольника с основанием 14 дюймов и высотой 7 дюймов.

Ответ: 49 кв. Дюймов

Пример \ (\ PageIndex {10} \):

Периметр треугольного сада составляет 24 фута. Длина двух сторон составляет 4 фута и 9 футов. Какова длина третьей стороны?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длина третьей стороны треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть c = третья сторона
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу.Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 24 & = 13 + c \\ 11 & = c \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка .	$$ \ begin {split} P & = a + b + c \\ 24 & \ stackrel {?} {=} 4 + 9 + 11 \\ 24 & = 24 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Длина третьей стороны 11 футов.

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \):

Периметр треугольного сада составляет 48 футов. Длина двух сторон 18 футов и 22 фута. Какова длина третьей стороны?

Ответ: 8 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \):

Длина двух сторон треугольного окна составляет 7 футов 5 футов. По периметру 18 футов.Какова длина третьей стороны?

Ответ: 6 футов

Пример \ (\ PageIndex {11} \):

Площадь треугольного церковного окна — 90 квадратных метров. База окна 15 метров. Какая высота окна?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	высота треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть h = высота
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 90 & = \ dfrac {15} {2} h \\ 12 & = h \ end {split} $$
Шаг 6. Чек .	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} bh \\ 90 & \ stackrel {?} {=} \ Dfrac {1} {2} \ cdot 15 \ cdot 12 \\ 90 & = 90 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Высота треугольника 12 метров.

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \):

Площадь треугольной картины составляет 126 квадратных дюймов. База 18 дюймов.Какая высота?

Ответ: 14 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \):

Треугольная дверь палатки имеет площадь 15 квадратных футов. Высота 5 футов. Что такое база?

Ответ: 6 футов

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Помимо прямоугольного треугольника, некоторые другие треугольники имеют особые имена. Треугольник с двумя сторонами равной длины называется равнобедренным треугольником .Треугольник с тремя сторонами равной длины называется равносторонним треугольником . На рисунке \ (\ PageIndex {12} \) показаны оба типа треугольников.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \) — В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона является основанием. В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.

Определение: равнобедренные и равносторонние треугольники

У равнобедренного треугольника две стороны одинаковой длины.

Равносторонний треугольник имеет три стороны равной длины.

Пример \ (\ PageIndex {12} \):

Периметр равностороннего треугольника составляет 93 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.	Периметр = 93 дюйма
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длина сторон равностороннего треугольника
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть s = длина каждой стороны
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 93 & = 3s \\ 31 & = s \ end {split} $$
Шаг 6. Чек .	$$ \ begin {split} 93 & = 31 + 31 + 31 \\ 93 & = 93 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Каждая сторона 31 дюйм.

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 39 дюймов.

Ответ: 13 дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \):

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 сантиметр.

Ответ: 17 см

Пример \ (\ PageIndex {13} \):

У Арианны есть 156 дюймов бисера, которые можно использовать для обрезки шарфа. Платок будет представлять собой равнобедренный треугольник с основанием 60 дюймов. Как долго она сможет сделать две равные стороны?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.	P = 156 дюймов
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	длины двух равных сторон
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть s = длина каждой стороны
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} 156 & = 2s + 60 \\ 96 & = 2s \\ 48 & = s \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка .	$$ \ begin {split} p & = a + b + c \\ 156 & \ stackrel {?} {=} 48 + 60 + 48 \\ 156 & = 156 \; \ checkmark \ end {split} $$
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Арианна может сделать каждую из двух равных сторон по 48 дюймов в длину.

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \):

Палуба заднего двора имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 20 футов. Периметр палубы 48 футов. Какова длина каждой из равных сторон колоды?

Ответ: 14 футов

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \):

Парус лодки представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 8 метров. Периметр — 22 метра. Какова длина каждой из равных сторон паруса?

Ответ: 7 м

Использование свойств трапеций

Трапеция — это четырехсторонняя фигура, четырехугольник , две стороны которого параллельны, а две — нет.Параллельные стороны называются основаниями. Мы называем длину меньшего основания b и длину большего основания B. Высота h трапеции — это расстояние между двумя основаниями, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \) — Трапеция имеет большее основание, B, и меньшее основание, b. Высота h — это расстояние между основаниями.

Формула площади трапеции:

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (b + B) \]

Разделение трапеции на два треугольника может помочь нам понять формулу.Площадь трапеции — это сумма площадей двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {14} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \) — Разделение трапеции на два треугольника может помочь вам понять формулу для ее площади.

Высота трапеции — это также высота каждого из двух треугольников. См. Рисунок \ (\ PageIndex {15} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

Формула площади трапеции

\ [Area_ {trapezoid} = \ dfrac {1} {2} h (\ textcolor {blue} {b} + \ textcolor {red} {B}) \]

Если раздадим, то получим,

Определение: Свойства трапеций

Трапеция имеет четыре стороны.См. Рисунок 9.25.
Две его стороны параллельны, а две — нет.
Площадь A трапеции равна A = \ (\ dfrac {1} {2} \) h (b + B).

Пример \ (\ PageIndex {14} \):

Найдите площадь трапеции, высота которой 6 дюймов, а основания 14 и 11 дюймов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot 6 (25) \\ A & = 3 (25) \\ A & = 75 \; квадрат\; дюймы \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : разумен ли этот ответ?

Если мы нарисуем прямоугольник вокруг трапеции с таким же большим основанием B и высотой h, его площадь должна быть больше, чем у трапеции.

Если мы нарисуем прямоугольник внутри трапеции с таким же основанием b и высотой h, его площадь должна быть меньше, чем у трапеции.

Площадь большего прямоугольника составляет 84 квадратных дюйма, а площадь меньшего прямоугольника — 66 квадратных дюймов.Таким образом, имеет смысл, что площадь трапеции составляет от 84 до 66 квадратных дюймов

Шаг 7. Ответьте на вопрос.

Площадь трапеции составляет 75 квадратных дюймов.

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \):

Высота трапеции — 14 ярдов, а основание — 7 и 16 ярдов. Какой район?

Ответ: 161 кв. Ярд

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \):

Высота трапеции 18 сантиметров, основания 17 и 8 сантиметров.Какой район?

Ответ: 255 кв. См

Пример \ (\ PageIndex {15} \):

Найдите площадь трапеции высотой 5 футов и основаниями 10,3 и 13,7 футов.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot 5 (24) \\ A & = 12 \ cdot 5 \\ A & = 60 \; квадрат\; футов \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : разумен ли этот ответ? Площадь трапеции должна быть меньше площади прямоугольника с основанием 13,7 и высотой 5, но больше площади прямоугольника с основанием 10,3 и высотой 5.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь трапеции составляет 60 квадратных футов.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \):

Высота трапеции 7 сантиметров, оснований 4.6 и 7,4 сантиметра. Какой район?

Ответ: 42 кв. См

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \):

Высота трапеции 9 метров, оснований 6,2 и 7,8 метра. Какой район?

Ответ: 63 кв.м

Пример \ (\ PageIndex {16} \):

У Винни есть сад в форме трапеции. Трапеция имеет высоту 3.4 ярда, а основания — 8,2 и 5,6 ярда. Сколько квадратных ярдов будет доступно для посадки?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	площадь трапеции
Шаг 3. Имя .Выберите переменную для ее представления.	Пусть A = площадь
Шаг 4. Перевести . Напишите соответствующую формулу. Заменять.
Шаг 5. Решите уравнение.	$$ \ begin {split} A & = \ dfrac {1} {2} \ cdot (3.4) (13.8) \\ A & = 23.46 \; квадрат\; ярдов \ end {split} $$
Шаг 6. Проверка : Разумен ли этот ответ? да.Площадь трапеции меньше площади прямоугольника с основанием 8,2 ярда и высотой 3,4 ярда, но больше площади прямоугольника с основанием 5,6 ярда и высотой 3,4 ярда.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	У Винни 23,46 квадратных ярда, на которых он может сажать растения.

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \):

Линь хочет подстричь лужайку, имеющую форму трапеции.Основания составляют 10,8 ярда и 6,7 ярда, а высота — 4,6 ярда. Сколько квадратных ярдов дерна ему нужно?

Ответ: 40,25 кв. Ярда

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \):

Кира хочет покрыть свой внутренний двор бетонной брусчаткой. Если внутренний дворик имеет форму трапеции с основанием 18 футов 14 футов и высотой 15 футов, сколько квадратных футов брусчатки ему понадобится?

Ответ: 240 кв.фут

Практика ведет к совершенству

Используйте свойства прямоугольников

В следующих упражнениях найдите (а) периметр и (б) площадь каждого прямоугольника.

Длина прямоугольника составляет 85 футов, а ширина — 45 футов.
Длина прямоугольника составляет 26 дюймов, а ширина — 58 дюймов.
Прямоугольная комната 15 футов шириной и 14 футов длиной.
Подъездная дорога имеет форму прямоугольника 20 футов шириной и 35 футов длиной.

В следующих упражнениях решите.

Найдите длину прямоугольника с периметром 124 дюйма и шириной 38 дюймов.
Найдите длину прямоугольника с периметром 20,2 ярда и шириной 7,8 ярда.
Найдите ширину прямоугольника с периметром 92 метра и длиной 19 метров.
Найдите ширину прямоугольника с периметром 16,2 метра и длиной 3,2 метра.
Площадь прямоугольника 414 квадратных метров.Длина 18 метров. Какая ширина?
Площадь прямоугольника 782 квадратных сантиметра. Ширина 17 сантиметров. Какая длина?
Длина прямоугольника на 9 дюймов больше ширины. По периметру 46 дюймов. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на 8 дюймов больше его длины. По периметру 52 дюйма. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольника 58 метров. Ширина прямоугольника на 5 метров меньше длины.Найдите длину и ширину прямоугольника.
Периметр прямоугольника 62 фута. Ширина на 7 футов меньше длины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольника на 0,7 метра меньше длины. Периметр прямоугольника 52,6 метра. Найдите размеры прямоугольника.
Длина прямоугольника на 1,1 метра меньше ширины. Периметр прямоугольника 49,4 метра. Найдите размеры прямоугольника.
Периметр прямоугольника 150 футов. Длина прямоугольника в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Периметр 72 фута. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Длина прямоугольника на 3 метра меньше двойной ширины. Периметр — 36 метров. Найдите длину и ширину.
Длина прямоугольника на 5 дюймов больше, чем в два раза ширины.По периметру 34 дюйма. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна 24 дюйма. Площадь — 624 квадратных дюйма. Какая длина?
Длина прямоугольного плаката составляет 28 дюймов. Площадь составляет 1316 квадратных дюймов. Какая ширина?
Площадь прямоугольной крыши — 2310 квадратных метров. Длина 42 метра. Какая ширина?
Площадь прямоугольного брезента составляет 132 квадратных фута. Ширина 12 футов. Какая длина?
Периметр прямоугольного двора составляет 160 футов.Длина на 10 футов больше ширины. Найдите длину и ширину.
Периметр прямоугольной картины 306 сантиметров. Длина на 17 сантиметров больше ширины. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольного окна на 40 дюймов меньше высоты. Периметр дверного проема — 224 дюйма. Найдите длину и ширину.
Ширина прямоугольной площадки на 7 метров меньше длины. Периметр детской площадки 46 метров.Найдите длину и ширину.

Используйте свойства треугольников

В следующих упражнениях решите, используя свойства треугольников.

Найдите площадь треугольника с основанием 12 дюймов и высотой 5 дюймов.
Найдите площадь треугольника с основанием 45 см и высотой 30 см.
Найдите площадь треугольника с основанием 8,3 метра и высотой 6,1 метра.
Найдите площадь треугольника с основанием 24.2 фута и высота 20,5 футов.
Треугольный флаг имеет основание 1 фут и высоту 1,5 фута. Какая у него площадь?
Треугольное окно имеет основание 8 футов и высоту 6 футов. Какая у него площадь?
Если треугольник имеет стороны 6 футов и 9 футов, а периметр равен 23 футам, какова длина третьей стороны?
Если треугольник имеет стороны 14 и 18 см, а периметр равен 49 см, какова длина третьей стороны?
Что такое основание треугольника площадью 207 квадратных дюймов и высотой 18 дюймов?
Какова высота треугольника площадью 893 квадратных дюйма и основанием 38 дюймов?
Периметр треугольного отражающего бассейна составляет 36 ярдов.Длина двух сторон составляет 10 ярдов и 15 ярдов. Какова длина третьей стороны?
Треугольный двор имеет периметр 120 метров. Длина двух сторон 30 метров и 50 метров. Какова длина третьей стороны?
Равнобедренный треугольник имеет основание 20 сантиметров. Если периметр равен 76 сантиметрам, найдите длину каждой из других сторон.
Равнобедренный треугольник имеет основание 25 дюймов. Если периметр составляет 95 дюймов, найдите длину каждой из других сторон.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 51 ярд.
Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 54 метра.
Периметр равностороннего треугольника 18 метров. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равностороннего треугольника составляет 42 мили. Найдите длину каждой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 42 фута. Длина самой короткой стороны — 12 футов.Найдите длину двух других сторон.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 83 дюйма. Длина самой короткой стороны — 24 дюйма. Найдите длину двух других сторон.
Блюдо имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона 8 дюймов в длину. Найдите периметр.
Плитка для пола имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона 1,5 фута в длину. Найдите периметр.
Дорожный знак в форме равнобедренного треугольника имеет основание 36 дюймов.Если периметр составляет 91 дюйм, найдите длину каждой из других сторон.
Платок в форме равнобедренного треугольника имеет основу 0,75 метра. Если периметр составляет 2 метра, найдите длину каждой из других сторон.
Периметр треугольника составляет 39 футов. Одна сторона треугольника на 1 фут длиннее второй. Третья сторона на 2 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Периметр треугольника составляет 35 футов.Одна сторона треугольника на 5 футов длиннее второй. Третья сторона на 3 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.
Одна сторона треугольника — это вдвое меньшая сторона. Третья сторона на 5 футов больше самой короткой. Периметр — 17 футов. Найдите длины всех трех сторон.
Одна сторона треугольника в три раза больше наименьшей стороны. Третья сторона на 3 фута больше самой короткой. Периметр — 13 футов. Найдите длины всех трех сторон.

Используйте свойства трапеций

В следующих упражнениях решайте, используя свойства трапеций.

Высота трапеции составляет 12 футов, а основания — 9 и 15 футов. Какой район?
Высота трапеции составляет 24 ярда, а основания — 18 и 30 ярдов. Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой 51 метр и основаниями 43 и 67 метров.
Найдите площадь трапеции высотой 62 дюйма и основаниями 58 и 75 дюймов.
Высота трапеции составляет 15 сантиметров, а основания — 12,5 и 18,3 сантиметра. Какой район?
Высота трапеции составляет 48 футов, а основание — 38,6 и 60,2 фута. Какой район?
Найдите площадь трапеции высотой 4,2 метра и основаниями 8,1 и 5,5 метра.
Найдите площадь трапеции высотой 32,5 см и основаниями 54,6 и 41,4 см.
Лорел делает знамя в форме трапеции.Высота баннера составляет 3 фута, а основания — 4 и 5 футов. Какая площадь у баннера?
Нико хочет выложить плиткой пол в ванной. Пол имеет форму трапеции шириной 5 футов и длиной 5 и 8 футов. Какая площадь этажа?
Терезе нужна новая столешница для кухонной стойки. Счетчик имеет форму трапеции шириной 18,5 дюйма и длиной 62 и 50 дюймов. Какая площадь прилавка?
Елена вяжет шарф.Шарф будет иметь форму трапеции шириной 8 дюймов и длиной 48,2 дюйма и 56,2 дюйма. Какая площадь у шарфа?

Площадь любого неправильного четырехугольника

Плоская фигура, ограниченная четырьмя отрезками прямых, называется неправильным четырехугольником. Площадь любого неправильного четырехугольника можно вычислить, разделив его на треугольники.

Пример :

Найдите площадь четырехугольника $$ ABCD $$, стороны которого равны $$ 9 $$ м, $$ 40 $$ м, $$ 28 $$ м и $$ 15 $$ м соответственно, а угол между первыми двумя сторонами является прямым. угол.2}} = \ sqrt {1681} = 41 \\ \ end {собрано} \]

Теперь площадь $$ \ Delta ABD = \ frac {1} {2} \ times 40 \ times 9 = 180 $$ m
In $$ \ Delta BCD $$, $$ BD = a = 41 $$ m, $$ DC = b = 28 $$ m, $$ CB = c = 15 $$ m
$$ \ поэтому s = \ frac {{a + b + c}} {2} = \ frac {{41 + 28 + 15}} {2} = 42 $$ m

Теперь
\ [\ begin {gather} {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \, \\ {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {42 (42 — 41) (42 — 28) (42 — 15)} = \ sqrt {42 \ times 14 \ times 27} = 126 \, sq \, m \\ \ end {собрано} \]

Площадь четырехугольника $$ ABCD $$$$ = $$ Площадь $$ \ Delta ABD $$ $$ + $$ Площадь $$ \ Delta BCD $$
Площадь четырехугольника $$ ABCD $$ $$ = (180 + 126) = 306 $$ квадратных метров.

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Как найти площадь треугольника?

1) через основание и высоту

2) через две стороны и угол

3) По трем сторонам. Формула Герона.

4) Через радиус вписанной окружности.

5) Через радиус описанной окружности.

Как найти площадь треугольника — Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Зная сторону и высоту

Зная две стороны и угол между ними

Зная три стороны (формула Герона)

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Как найти площадь равностороннего треугольника

Как найти площадь треугольника по 3 сторонам.

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Формулы площади треугольника

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Площадь треугольника прямой угол. Как найти площадь треугольника

Самая простая формула определения площади прямоугольного треугольника

Найти площадь прямоугольного треугольника через формулу Герона

Найти площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Гипотенуза и катеты

Соотношения между гипотенузой и катетами

Прилежащий и противолежащий катет

Геометрия треугольника

Прямоугольный треугольник в реальности

Площадь треугольника

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Школьная задача

Заключение

Рекомендуем также

✅ Площадь поперечного сечения: особенности величины, как найти её для круга

Диагональ квадрата

Объём геометрической фигуры

Кубический дециметр. Кубический метр

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Перевод единиц измерения площади

Периметр квадрата

Что такое треугольник

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник

Прямоугольный треугольник

Равносторонний треугольник

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Формула Герона определения площади треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Найти площадь треугольника зная 2 стороны. Как найти площадь треугольника

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

Формула Герона

Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

Как найти площадь равностороннего треугольника

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника

Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей

Частный случай: прямоугольный треугольник

Частный случай: равнобедренный треугольник

Частный случай: равносторонний треугольник

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Пример задачи на формулу Герона

Пример задачи с прямоугольным треугольником